お久しぶりです。
タイトルの通り、複素数の平方根を導きます。
導出過程は分かりませんが、結果は多分合っていると思います（
なお、文中の謎の長文はページ全体が読み終わった途端数式の画像に変化する魔法の呪文です。
変化しない場合はリロードしてみて下さい。
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《 方針 》
一般に複素数zを実数の組で表す方法には次の２つがあります。
ⅰ. 実部aと虚部bによる表示（直交形式）
z = a+bi
ⅱ. 絶対値rと偏角θによる表示（極形式）
z = re
iθ
このうちⅰの直交形式からそのまま導く方法は大分前に
書いたので、今回はⅱの極形式を用いて導くことにします。
ここで、ⅱの極形式の平方根は
\pm\sqrt z = \pm\sqrt{re^{i\theta}} = \pm\sqrt{r} e^{i{\theta/2}}
と表わされるので、今回は±√r e
iθ/2を最終的に直交形式にするのが目標となります。
《 導出 》
-π＜θ≦πとする.
オイラーの公式より
\pm\sqrt r e^{i\theta/2} = \pm\sqrt r \cos{\theta\over 2}\pm i\sqrt r \sin{\theta\over 2} ・・・①
この式の三角関数を取り除けばよい.
半角の公式より
ⅰ. -π＜θ＜0のとき
\sqrt r \cos{\theta\over 2}=\sqrt{{r+r\cos\theta}\over 2}，
\sqrt r \sin{\theta\over 2}=-\sqrt{{r-r\cos\theta}\over 2}
ⅱ. 0≦θ≦πのとき
\sqrt r \cos{\theta\over 2}=\sqrt{{r+r\cos\theta}\over 2}，
\sqrt r \sin{\theta\over 2}=\sqrt{{r-r\cos\theta}\over 2}
ここで, 直交形式と極形式の変換から
r\cos\theta=a
であるので, これを代入して
ⅰ. -π＜θ＜0のとき
\sqrt r \cos{\theta\over 2}=\sqrt{{r+a}\over 2}，
\sqrt r \sin{\theta\over 2}=-\sqrt{{r-a}\over 2}
ⅱ. 0≦θ≦πのとき
\sqrt r \cos{\theta\over 2}=\sqrt{{r+a}\over 2}，
\sqrt r \sin{\theta\over 2}=\sqrt{{r-a}\over 2}
したがって
ⅰ. -π＜θ＜0のとき
\sqrt r \cos{\theta\over 2}=\sqrt{{\sqrt{a^2+b^2}+a}\over 2}，
\sqrt r \sin{\theta\over 2}=-\sqrt{{\sqrt{a^2+b^2}-a}\over 2}
ⅱ. 0≦θ≦πのとき
\sqrt r \cos{\theta\over 2}=\sqrt{{\sqrt{a^2+b^2}+a}\over 2}，
\sqrt r \sin{\theta\over 2}=\sqrt{{\sqrt{a^2+b^2}-a}\over 2}
また
-π＜θ＜0 ⇔ b ＜ 0
0≦θ≦π ⇔ b ≧ 0
であることを確認する.
以上より，得られた式をそれぞれ式①に代入すると, 求める方程式
ⅰ. b ＜ 0のとき
\pm\sqrt{a+bi} = \pm\sqrt{{\sqrt{a^2+b^2}+a}\over 2}\mp i\sqrt{{\sqrt{a^2+b^2}-a}\over 2}
ⅱ. b ≧ 0のとき
\pm\sqrt{a+bi} = \pm\sqrt{{\sqrt{a^2+b^2}+a}\over 2}\pm i\sqrt{{\sqrt{a^2+b^2}-a}\over 2}
を得る.（終）
